Odvození vzorce pro výpočet obvodu a obsahu kruhu
Zajímá vás, kde se vzali vzorečky pro obvod a obsah kruhu?
O = 2.π.r
S = π.r²
Co je to číslo π? Číslo π se vypočítá jako obvod/průměr kruhu.
π = O/d = 3.141....... a nekonečně mnoho desetinných míst
Představte si, že chcete změřit obvod kruhu a máte k dispozici jen pravítko a kružítko. Nejlepší způsob je narýsovat kružnici a do ní narýsovat vepsaný šestiúhelník. Poté změřit délku jeho strany a vynásobit ji šesti. Celkový obvod šestiúhelníku bude o něco menší než obvod kruhu, ale nebudete daleko od pravdy.
Pokud bude mít kružnice poloměr r = 1
,tak obvod vepsaného šestiúhelníku bude Os6 = 6
,což se blíží obvodu kruhu Ok = 2.π.r = 6,283
Obvod šestiúhelníku Os6 = 2.x.6 = 12.x viz obr.
Jak vypočítáme x? Z obrázku vidíme, že velikost úhlu α = 2.π/12= π/6
sin(α) = x/r
vyjádříme x
x = r.sin(α)
dosadíme x do rovnice Os6 = 12.r.sin(α) = 6
Pokud budeme chtít náš výpočet zpřesnit, tak nakreslíme osmiúhelník a provedeme stejný výpočet.
Pokud budeme dále přidávat počet stran n-úhelníku, tak náš obvod bude čím dál přesnější, protože tvar našeho n-úhelníku se bude více podobat kružnici. viz obr. níže.
Nyní potřebujeme vytvořit rovnici pro libovolný n-úhelník.
úhel pro šestiúhelník byl α = π/6, takže α pro libovolný n-úhelník bude
α = π/n
rovnici pro obvod n-úhelníku odvodíme takto:
- pokud se počet stran n-uhelníku bude limitně blížit nekonečnu tak:
Obvod jsme si odvodily a teď si podobným způsobem odvodíme obsah.
Když se podíváme na obrázek níže, vidíme, že obsah šestiúhelníku S6 = 6.St
St je obsah červeného trojúhelníku.
Obsah červeného trojúhelníku St = v.x
v = r. cos(α)
x = r .sin(α)
obsah celého n-úhelníku bude Sn = St.n
pokud se n bude limitně blížit k nekonečnu tak:
Pokud se vám limita nechce počítat, stačí za n dosadit veliké číslo.
Na obrázku níže je znázorněno zpřesňování výpočtu s roustoucím n.
Geometrickou metodu odvození obvodu a obsahu jsme splnily. Nyní se podíváme na odvození pomocí integrálního počtu. Na toto odvození je třeba znát základy vysokoškolské matematiky.
Odvození pomocí integrálního počtu
Nejjednodušší způsob odvození je následující.
Nejdůležitější část je vhodně rozdělit čtvrtkruh na nekonečně malé plochy, které následně sečteme pomocí integrálního počtu.
Nejvýhodnější je rozdělit čtvrtkruh na nekonečně mnoho nekonečně tenkých skořepin. Jedna z těchto skořepin je zakreslena na obrázku výše a velikost její plochy dS = dx.L (když plochu rozvinete, je z ní obdélník o stranách dx a L). Plocha dS je nekonečně tenká, protože strana dx je nekonečně krátká. Na obrázku je nakreslen přehnaně velký rozměr dx aby jste viděli s jakými rozměry počítáme a aby bylo možné rozměry zakótovat.
Délka kruhového oblouku L se vypočítá jako součin úhlu v radiánech a velikosti poloměru.
L = (π/2).x
(π/2) rad = 90° což je úhel mezi osou x a y
velikost plochy dS = L.dx = (π/2).x.dx
Velikost celkové plochy S získáme tak, že sečteme všechny plochy dS. Jelikož sčítáme nekonečně malé plochy (děláme sumu nekonečně malých plošek), musíme uplatnit pravidla pro integrální počet. Musíme funkci integrovat.
Z obrázku vidíme, že když spočítáme obsah plochy, tak jak jsme si ji nadefinovali, výsledek bude plocha o velikosti čtvrtiny plochy kruhu. Protože chceme výpočet obsahu celé kružnice, tak funkci vynásobíme čtyřmi. Vzorec pro obsah plochy celého kruhu je:
dS = 4.(π/2).x.dx
Z obrázku vidíme, že x dosahuje hodnot od 0 do r. Toto jsou naše integrační meze.
Jdeme integrovat:
Integrál je suma všech plošek dS od x = 0 po x = r. Vidíme, že velikost plošky bude nejmenší pro x blížící se k nule, protože L bude velmi krátké. V bodě x = 0 bude L(0)=0.(π/2)=0 tzn., že dS(0) pro x=0 bude nulové dS = 0.dx=0.
Naopak pro x = r bude L největší.
Jsou i další možnosti, jak dosáhnout stejného výsledku. Nyní si zvolíme jiný typ nekonečně malé plošky viz obrázek.
Nyní je velikost plochy dS dána součinem dx a y.
dS = y.dx
S= 4∫dS = 4∫y.dx
Pokud chceme rovnici integrovat podle x, musíme na pravou stranu rovnice dostat proměnou x namísto y.
Pythagoras by na to šel takto:
rovnice kružnice.. r² = y²+x²
z toho vyjádříme y
dosadíme y do rovnice S=4∫dS=4∫y.dx
získáme rovnici:
Tuto rovnici není tak snadné integrovat. Musíme použít substituční metodu. Kompletní odvození je níže.
výsledek je stejný S = π.r²
Na tomto příkladu vidíte, jak moc lze složitost výpočtu ovlivnit tvarem sčítaných segmentů.(nekonečně malých ploch).
Kontrola v programu Mathcad. Třikrát jinak a přesto stejně:
Při odvozování obvodu a obsahu plochy kružnice si uvědomíte, k čemu je dobré počítání s nekonečny. Sčítáme nekonečně mnoho nekonečně malých segmentů. Už při geometrickém odvození jsme narazili na pojem limita. Limita je základ integrálního počtu a jsou díky ní odvozené veškeré rovnice, se kterými se v diferenciálním a integrálním počtu setkáte. V našem případě jsme využili limitu k odvození velikosti konstanty π. S přidáváním stran n-úhelníku se nám číslo π neustále blížilo k limitní hodnotě.
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...atd :-)
Při řešení podobných úloh se zrodil diferenciální a integrální počet.